Achille e la tartaruga

L’argomento

Achille corre a dieci metri al secondo. La tartaruga ne fa cinque, quindi le si concede un vantaggio di cento metri.

Prima di superarla, Achille deve arrivare nel punto da cui la tartaruga è partita. Quando ci arriva, la tartaruga è avanzata di cinquanta metri. Deve quindi raggiungere quel punto, e a quel punto la tartaruga è venticinque metri più avanti. Poi dodici e mezzo. Poi sei e venticinque.

C’è sempre un’altra distanza da colmare. Zenone di Elea, nel V secolo a.C., ne concluse che Achille non raggiunge mai la tartaruga, e che il movimento come lo vediamo non può essere ciò che sembra.

Che cosa mostra la scena

Ogni passo dello scroll è una delle tappe di Zenone. Dove la tartaruga è passata resta una bandierina, e Achille ne ha sempre un’altra da raggiungere. A ogni tappa la camera ingrandisce di un fattore due, così la distanza sullo schermo sembra sempre la stessa. È esattamente il trucco dell’argomento: ti tiene a fissare una distanza che non sembra mai ridursi.

La striscia in basso mostra tutta la corsa a scala fissa, e lì si vede bene che i due si stanno avvicinando al traguardo dei 200 metri. Continua a scorrere oltre l’ultimo passo e la camera si allontana: Achille attraversa il traguardo e prosegue.

Ora guarda il pannello a fianco. Le distanze che si sommano sono 100, 50, 25, 12,5 e così via. Ognuna è la metà della precedente, e il totale si avvicina a 200 metri senza mai superarli. Il tempo si comporta allo stesso modo e si avvicina a 20 secondi.

Dove l’argomento si rompe

Zenone conta i passi e trova che sono infiniti. Poi dà per scontato che infiniti passi richiedano un tempo infinito. È la premessa nascosta, ed è falsa.

I passi si accorciano alla stessa velocità con cui aumentano di numero. Sommandoli:

100 + 50 + 25 + 12,5 + … = 200

Un elenco infinito di numeri può avere una somma finita. Ad Achille servono infinite tappe, ma tutte insieme stanno dentro venti secondi. Al ventesimo secondo è alla pari con la tartaruga, a duecento metri dalla partenza, e al ventunesimo è avanti di cinque metri.

Perché ci sono voluti duemila anni

I Greci non avevano modo di assegnare un numero alla somma di infiniti termini. Divenne un’operazione rigorosa solo nell’Ottocento, quando Cauchy e Weierstrass definirono il limite: il totale è il valore a cui le somme parziali si avvicinano quanto si vuole. Con quella definizione, il paradosso diventa un calcolo di poche righe.

Se il calcolo chiuda anche la questione filosofica, cioè come si possano davvero completare infiniti compiti, è ancora oggetto di discussione. Ma come gara, finisce in venti secondi.