Paradosso · Probabilità
Il problema di Monty Hall
Scegli una porta. Una nasconde un’auto, due nascondono capre.
- Le tue partite
- Tieni 0 vinte su 0
- Cambia 0 vinte su 0
Ora giocala diecimila volte
Ogni partita simulata vale per entrambe le strategie: tenere vince quando la prima scelta era giusta, cambiare vince quando era sbagliata.
- Cambia – 0 vinte su 0
- Tieni – 0 vinte su 0
Avvia la simulazione per vedere le due linee assestarsi.
Il gioco
Ci sono tre porte chiuse. Dietro una c’è un’auto, dietro le altre due una capra. Scegli una porta. Il conduttore, che sa dov’è l’auto, apre una delle altre due e ti mostra una capra. Poi chiede: vuoi tenere la tua porta o passare all’altra rimasta chiusa?
Restano due porte, quindi sembra un testa o croce. Non lo è. Cambiando si vince due volte su tre.
Perché cambiare conviene
La tua prima scelta è giusta una volta su tre. Niente di quello che il conduttore fa dopo può cambiarlo: potrà sempre aprire una porta con una capra, qualunque cosa tu abbia scelto.
Quindi una volta su tre l’auto è dietro la tua porta, e cambiando perdi. Le altre due volte su tre l’auto è dietro una delle due porte che non hai scelto, e il conduttore ti ha appena mostrato dietro quale delle due non è. Cambiando ci arrivi dritto.
Tenere la porta è una scommessa sul fatto che la prima scelta fosse giusta. Cambiare è una scommessa sul fatto che fosse sbagliata. Era sbagliata due volte su tre.
La versione che lo rende evidente
Immagina cento porte. Ne scegli una. Il conduttore ne apre novantotto delle altre, tutte con capre, e ne lascia chiusa una sola. Terresti la tua scelta da una su cento, o prenderesti la porta che lui ha evitato con tanta cura?
Con tre porte funziona esattamente allo stesso modo. I numeri sono solo abbastanza piccoli da nasconderlo.
Perché sembra sbagliato
La scelta del conduttore non è casuale, ed è questo il pezzo che l’intuizione perde per strada. Se aprisse una porta a caso e trovasse per fortuna una capra, le due porte rimaste sarebbero davvero equiprobabili. Ma lui sa dov’è l’auto e non la mostra mai, quindi la sua scelta porta informazione sulle porte che non hai scelto, e nessuna sulla tua.
Una discussione famosa
Nel 1990 Marilyn vos Savant diede la risposta corretta nella sua rubrica sulla rivista Parade. Ricevette circa diecimila lettere che le davano torto, quasi mille delle quali da lettori con un dottorato. Si racconta che il matematico Paul Erdős abbia accettato il risultato solo dopo aver visto una simulazione al computer.
La simulazione qui sopra è quell’argomento. Avviala e guarda le linee assestarsi.